Example

首先从两个例子开始。

例 1，下例输出是？

#include<stdio.h>

void main(){
    float p = 1000000.9;

    printf("%f", p);
}

结果：

1000000.875000

例 2，下例输出是？

#include<stdio.h>

void main(){
    int i = 1;
    float* p = &i;

    printf("%f", *p);
}

结果：

0.000000

理解浮点数

从例 1 可知，浮点数表示的精度有限；由例 2 可知，同样为 4 Byte，float 和 int 的数据组织不一样。那么浮点数是如何组织的呢？首先回忆科学计数法。在科学记数法中，一个有限的实数可用如下表示：

a * 10^n

其中：
1 <= |a| < 10
n 为整数

以上式子亦可表达为如下：

(-1)^s * a * 10^n

其中：
s = 0 或 1，s 为 0 表示正数，为 1 表示负数
1 <= a < 10
n 为整数

计算机采用二进制，科学计数法的二进制表达如下：

(−1)^s × a × 2^n

其中
s = 0 或 1，s 为 0 表示正数，为 1 表示负数
1 <= a < 2
n 为整数

以 4 Byte 的 float 为例，IEEE 754 对其的定义如下：

|s|exponent(8 bit)|            fraction (23 bit)                |
+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+

s 表示符号位，共 1 bit，0 表示正数，1 表示负数
e(exponent) 共 8 bit，它决定了 n 的值，即浮点数能表达的范围
f(fraction) 共 23 bit，它决定了 a 的值，即浮点数的精度

e 和 n 的关系如下：

n = e - 127

其中 0<= e <= 255
所以 -127 <= n <= 128。(当 n = 128 时，表示浮点数无穷大)

f 和 a 的关系如下：

a = f/(2^23) + 1

其中 0 <= f <= 8388607
所以 1 <= a <= 1.99999988

所以 float 类型的浮点数能表示的范围为：

± 1.99999988 * 2^-127 至 ± 1.99999988 * 2^127
即：± 1.18 × 10^-38 至 ± 3.4 × 10^38

float 类型的浮点数精度为：

1/(2^23) = 1.19 * 10^-7，十进制下为 7 位。

同理，double 类型的浮点数能表示的范围和最大精度为：

范围：± 2.23 × 10^-308 到 ± 1.80 × 10^308
精度：十进制下为 16 位

例 1 中，因为 1000000.9 长度为 8 位，超出 float 所能表示的最大精度，所以不能被精确表示。

例 2 中，对于 int i = 1，其在内存中的数据为：

|s|exponent(8 bit)|            fraction (23 bit)                |
+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|1|
+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+

故有 s = 0, e = 0, f = 1，其值为 (-1)^0 * (1 + 2^-23) * 2^-127，即 5.88 * 10^-39，所以显示的结果为 0。